fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

גרדיאנט – משוואת מישור משיק – תרגיל 4361

תרגיל 

חשבו את משוואת המישור המשיק לפונקציה:

z=x^2+y^2

בנקודה x=1,y=2.

תשובה סופית


-2x-4y+z=-5

פתרון

כדי למצוא משוואת מישור משיק, אנו צריכים נקודה ונורמל (וקטור מאונך למישור). נמצא את הנקודה – נציב את x=1 ואת y=2 בפונקציה כדי למצוא את רכיב z של הנקודה:

z=1^2+2^2

z=5

קיבלנו שנקודת ההשקה היא

(1,2,5)

וקטור הגרדיאנט בנקודה היא וקטור המאונך למישור, ולכן הוא יהיה הנורמל שאנו מחפשים. לשם כך, נעביר את כל האיברים בפונקציה אגף:

z-x^2-y^2=0

נגדיר פונקציה חדשה:

h(x,y,z)=z-x^2-y^2

נחשב לפונקציה את וקטור הגרדיאנט:

\nabla h=h'_x\vec{i}+h'_y\vec{j}+h'_z\vec{k}=

=(h'_x,h'_y,h'_z)

בנוסחה מופיעות הנגזרות של הפונקציה. לכן, נגזור:

h'_x(x,y,z)=-2x

h'_y(x,y,z)=-2y

h'_z(x,y,z)=1

נציב בווקטור הגרדיאנט ונקבל:

\nabla h(x,y,z)=(-2x,-2y,1)

נציב את הנקודה ונקבל:

\nabla h(1,2,5)=(-2,-4,1)

כלומר הנורמל למישור הוא

\vec{N}=(-2,-4,1)

נציב את הנקודה ואת הנורמל בנוסחה למשוואת מישור ונקבל:

-2(x-1)-4(y-2)+(z-5)=0

-2x+2-4y+8+z-5=0

-2x-4y+z=-5

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה