fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

גרדיאנט – חישוב כיוון מקסימלי – תרגיל 4265

תרגיל 

חשבו את הכיוון שבו קצב ההישתנות של השדה הסקלרי:

u=\ln(x^2+y^2+z^2)

בנקודה (1,2,1) הוא מקסימלי.

תשובה סופית


\hat{\nabla} u(1,2,1)=\frac{1}{\sqrt{6}}\vec{i}+\frac{2}{\sqrt{6}}\vec{j}+\frac{1}{\sqrt{6}}\vec{k}

פתרון

קצב השינוי המקסימלי מתקבל בכיוון וקטור הגרדיאנט:

\nabla u=u'_x\vec{i}+u'_y\vec{j}+u'_z\vec{k}=

=(u'_x,u'_y,u'_z)

בנוסחה מופיעות הנגזרות של הפונקציה. לכן, נגזור:

u'_x(x,y,z)=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}\cdot 2x

u'_y(x,y,z)=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}\cdot 2y

u'_z(x,y,z)=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}\cdot 2z

נציב את הנקודה בנגזרות ונקבל:

u'_x(1,2,1)=\frac{1}{1^2+2^2+1^2}\cdot 2\cdot 1=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}

u'_y(1,2,1)=\frac{1}{1^2+2^2+1^2}\cdot 2\cdot 2=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}

u'_z(1,2,1)=\frac{1}{1^2+2^2+1^2}\cdot 2\cdot 1=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}

נציב בווקטור הגרדיאנט ונקבל:

\nabla u(1,2,1)=\frac{1}{3}\vec{i}+\frac{2}{3}\vec{j}+\frac{1}{3}\vec{k}

מכיוון שביקשו כיוון, נצטרך לנרמל את הווקטור. לכן, נחשב את גודל הווקטור:

|\nabla u(1,2,1)|=\sqrt{{(\frac{1}{3})}^2+{(\frac{2}{3})}^2+{(\frac{1}{3})}^2}=

=\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{1}{9}}=

=\sqrt{\frac{6}{9}}=\frac{\sqrt{6}}{3}

נחלק את הווקטור בגודלו ונקבל את הווקטור המנורמל:

\hat{\nabla} u(1,2,1)=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}\vec{i}+\frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}\vec{j}+\frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}\vec{k}=

=\frac{1}{\sqrt{6}}\vec{i}+\frac{2}{\sqrt{6}}\vec{j}+\frac{1}{\sqrt{6}}\vec{k}

וזה הכיוון שבו קצב ההישתנות של הפונקציה בנקודה מקסימלי.

טיפ: זכרו שכאשר מבקשים וקטור למטרת הכיוון שלו, צריך לנרמל את הווקטור!

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה