fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

גרדיאנט – חישוב גרדיאנט של שדה סקלרי וכיוונו – תרגיל 4257

תרגיל 

חשבו את הגרדיאנט של השדה הסקלרי:

u=xyz

בנקודה (2,1,1), וחשבו את כיוונו בנקודה זו.

תשובה סופית


\nabla u(2,1,1)=\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}

\hat{\nabla} u(2,1,1)=\frac{1}{3}\vec{i}+\frac{2}{3}\vec{j}+\frac{2}{3}\vec{k}

פתרון

וקטור הגרדיאנט הוא הווקטור:

\nabla u=u'_x\vec{i}+u'_y\vec{j}+u'_z\vec{k}=

=(u'_x,u'_y,u'_z)

בנוסחה מופיעות הנגזרות של הפונקציה. לכן, נגזור:

u'_x(x,y,z)=yz

u'_y(x,y,z)=xz

u'_z(x,y,z)=xy

נציב את הנקודה בנגזרות ונקבל:

u'_x(2,1,1)=1\cdot 1=1

u'_y(2,1,1)=2\cdot 1=2

u'_z(2,1,1)=2\cdot 1=2

נציב בווקטור הגרדיאנט ונקבל:

\nabla u(2,1,1)=\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}

או בקיצור:

\nabla u(2,1,1)=(1,2,2)

כיוון הגרדיאנט הוא וקטור הגרדיאנט המנורמל. לכן, נחשב את גודל הווקטור:

|\nabla u(2,1,1)|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3

נחלק את הגרדיאנט בגודלו ונקבל את הווקטור המנורמל:

\hat{\nabla} u(2,1,1)=\frac{1}{3}\vec{i}+\frac{2}{3}\vec{j}+\frac{2}{3}\vec{k}

כיוון הגרדיאנט הוא כיוון הוקטור המנורמל. כדי למצוא את הזוויות מול הצירים, נזכור שמתקיים:

\frac{1}{3}\vec{i}+\frac{2}{3}\vec{j}+\frac{2}{3}\vec{k}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)

כלומר,

\frac{1}{3}=\cos\alpha

\frac{2}{3}=\cos\beta

\frac{2}{3}=\cos\gamma

כאשר אלפא היא הזווית של הווקטור מול ציר x, ביתא – מול ציר y וגמא – מול ציר z.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה