fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

גרדיאנט – חישוב גרדיאנט של שדה סקלרי – תרגיל 4262

תרגיל 

חשבו את הגרדיאנט של השדה הסקלרי:

u=xe^{|\vec{r}|}

כאשר מתקיים:

\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}

בנקודה (0,1,0).

תשובה סופית


\nabla u(0,1,0)=e\vec{i}+0\vec{j}+0\vec{k}

פתרון

וקטור הגרדיאנט הוא הווקטור:

\nabla u=u'_x\vec{i}+u'_y\vec{j}+u'_z\vec{k}=

=(u'_x,u'_y,u'_z)

נציב בפונקציה את גודל הווקטור r ונקבל:

u=xe^{|\vec{r}|}=xe^{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}

בנוסחה מופיעות הנגזרות של הפונקציה. לכן, נגזור:

u'_x(x,y,z)=e^{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}+xe^{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot 2x=

=e^{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(1+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}})

u'_y(x,y,z)=xe^{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot 2y=

=e^{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}

u'_z(x,y,z)=xe^{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot 2z=

=e^{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot\frac{xz}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}

נציב את הנקודה בנגזרות ונקבל:

u'_x(0,1,0)=e^{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}(1+\frac{0^2}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}})=e

u'_y(0,1,0)=e^{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}\cdot\frac{0}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}=0

u'_z(0,1,0)=e^{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}\cdot\frac{0}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}=0

נציב בווקטור הגרדיאנט ונקבל:

\nabla u(0,1,0)=e\vec{i}+0\vec{j}+0\vec{k}

או בקיצור:

\nabla u(0,1,0)=(e,0,0)

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה