fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

גרדיאנט – משוואת מישור משיק – תרגיל 4363

תרגיל 

חשבו את משוואת המישור המשיק לפונקציה:

z=\frac{x^2-y^2}{2}

בנקודה x=3,y=1.

תשובה סופית


-3x+y+z=-4

פתרון

כדי למצוא משוואת מישור משיק, אנו צריכים נקודה ונורמל (וקטור מאונך למישור). נמצא את הנקודה – נציב את x=3 ואת y=1 בפונקציה כדי למצוא את רכיב z של הנקודה:

z=\frac{3^2-1^2}{2}

z=4

קיבלנו שנקודת ההשקה היא

(3,1,4)

וקטור הגרדיאנט בנקודה הוא וקטור המאונך למישור, ולכן הוא יהיה הנורמל שאנו מחפשים. לשם כך, נעביר את כל האיברים בפונקציה לאגף אחד:

z-\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}=0

נגדיר פונקציה חדשה:

h(x,y,z)=z-\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}

נחשב לפונקציה את וקטור הגרדיאנט:

\nabla h=h'_x\vec{i}+h'_y\vec{j}+h'_z\vec{k}=

=(h'_x,h'_y,h'_z)

בנוסחה מופיעות הנגזרות של הפונקציה. לכן, נגזור:

h'_x(x,y,z)=-x

h'_y(x,y,z)=y

h'_z(x,y,z)=1

נציב בווקטור הגרדיאנט ונקבל:

\nabla h(x,y,z)=(-x,y,1)

נציב את הנקודה ונקבל:

\nabla h(3,1,4)=(-3,1,1)

כלומר הנורמל למישור הוא

\vec{N}=(-3,1,1)

נציב את הנקודה ואת הנורמל בנוסחה למשוואת מישור ונקבל:

-3(x-3)+(y-1)+(z-4)=0

-3x+9+y-1+z-4=0

-3x+y+z=-4

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה