fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת מכוונת – חישוב נגזרת בכיוון נורמל למשטח – תרגיל 4307

תרגיל 

מצאו משטח רמה של השדה הסקלרי:

u=3x^2+5y^2+z^2

העובר בנקודה (1,2-,1) וחשבו את הנגזרת המכוונת של u בנקודה ובכיוון הנורמל למשטח.

תשובה סופית


3x^2+5y^2+z^2=12

D_{\vec{a}}u(1,-1,2)=\sqrt{152}

פתרון

נמצא את משטח הרמה – נקבע את u להיות הפרמטר c:

c=3x^2+5y^2+z^2

ונציב את הנקודה:

c=3\cdot 1^2+5\cdot {(-1)}^2+2^2

c=12

מכאן, משטח הרמה הוא:

3x^2+5y^2+z^2=12

נחשב את הנגזרת המכוונת. הנורמל למשטח הוא בכיוון הגרדיאנט. לכן, נחשב את הנגזרת החלקיות בשביל הגרדיאנט:

u'_x(x,y,z)=6x

u'_y(x,y,z)=10y

u'_z(x,y,z)=2z

מכאן, וקטור הגרדיאנט הוא

\nabla u=(u'_x,u'_y,u'_z)=

=(6x,10y,2z)

נציב בווקטור הגרדיאנט את הנקודה (1,2-,1) ונקבל:

\nabla u(1,-1,2)=(6\cdot 1,10\cdot (-1),2\cdot 2)

=(6,-10,4)

ערך הנגזרת הוא גודל הגרדיאנט:

|\nabla u(1,-1,2)|=\sqrt{6^2+{(-10)}^2+4^2}=\sqrt{152}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 
תרגיל 1 – נגזרת מכוונת – חישוב נגזרת

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה