fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת של פונקציה סתומה – משוואת משיק עם ln – תרגיל 4357

תרגיל 

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה הנתונה במשוואה:

\ln y+\frac{2y}{x+y}=x, x<0

בנקודה y=1.

תשובה סופית


y=-x-1

פתרון

כדי למצוא משוואת משיק, אנו צריכים נקודה ושיפוע בנקודה. נציב y=1 כדי למצוא את ערך x של הנקודה:

\ln y+\frac{2y}{x+y}=x

\ln 1+\frac{2\cdot 1}{x+1}=x

0+\frac{2}{x+1}=x

x^2+x-2=0

נשתמש בנוסחת השורשים:

x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2\cdot 1}=

=\frac{-1\pm 3}{2}

x_1=\frac{-1- 3}{2}=-2

x_2=\frac{-1+ 3}{2}=1

מכיוון שנתון:

x<0

מקבלים:

x=-2

קיבלנו שנקודת ההשקה היא

(-2,1)

כעת נחשב את השיפוע בעזרת נוסחת הנגזרת ממשפט הפונקציה הסתומה.

הפונקציה נתונה בצורה סתומה במשוואה:

\ln y+\frac{2y}{x+y}=x

נעביר את כל האיברים לאגף אחד:

\ln y+\frac{2y}{x+y}-x=0

ונגדיר פונקציה חדשה, המשתנים שלה יהיו כל המשתנים המופיעים במשוואה. מקבלים את הפונקציה:

z(x,y)=\ln y+\frac{2y}{x+y}-x

נרצה להשתמש בנוסחת נגזרת לפונקציה סתומה:

y'(x)=\frac{-z'_x}{z'_y}

נחשב את הנגזרות החלקיות של z:

z'_x=2y\cdot (-\frac{1}{{(x+y)}^2})-1

z'_y=\frac{1}{y}+\frac{2(x+y)-2y}{{(x+y)}^2}

נציב בנוסחה:

y'(x)=\frac{-z'_x}{z'_y}=\frac{-(2y\cdot (-\frac{1}{{(x+y)}^2})-1)}{\frac{1}{y}+\frac{2(x+y)-2y}{{(x+y)}^2}}

נציב בנגזרת שקיבלנו את נקודת ההשקה:

y'(-2)=\frac{-(2\cdot 1\cdot (-\frac{1}{{(-2+1)}^2})-1)}{\frac{1}{1}+\frac{2(-2+1)-2\cdot 1}{{(-2+1)}^2}}=-1

לבסוף, נציב את הנקודה ואת השיפוע בנוסחה למשוואת משיק:

y-y_0=y'(x)(x-x_0)

y-1=-1\cdot(x+2)

y=-x-2+1

y=-x-1

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה