fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת של פונקציה סתומה – משוואת משיק עם tan – תרגיל 4352

תרגיל 

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה הנתונה במשוואה:

y=\tan(xy),0<x<\frac{\pi}{2}

בנקודה y=1.

תשובה סופית


y-1=\frac{4}{2-\pi}\cdot(x-\frac{\pi}{4})

פתרון

כדי למצוא משוואת משיק, אנו צריכים נקודה ושיפוע בנקודה. נציב y=1 כדי למצוא את ערך x של הנקודה:

1=\tan(x\cdot 1)

1=\tan x

מכיוון שנתון:

0<x<\frac{\pi}{2}

מקבלים:

x=\frac{\pi}{4}

קיבלנו שנקודת ההשקה היא

(\frac{\pi}{4},1)

כעת נחשב את השיפוע בעזרת נוסחת הנגזרת ממשפט הפונקציה הסתומה.

הפונקציה נתונה בצורה סתומה במשוואה:

y=\tan(xy)

נעביר את כל האיברים לאגף אחד:

y-\tan(xy)=0

ונגדיר פונקציה חדשה, המשתנים שלה יהיו כל המשתנים המופיעים במשוואה. מקבלים את הפונקציה:

z(x,y)=y-\tan(xy)

נרצה להשתמש בנוסחת נגזרת לפונקציה סתומה:

y'(x)=\frac{-z'_x}{z'_y}

נחשב את הנגזרות החלקיות של z:

z'_x=-\frac{1}{\cos^2(xy)}\cdot y

z'_y=1-\frac{1}{\cos^2(xy)}\cdot x

נציב בנוסחה:

y'(x)=\frac{-z'_x}{z'_y}=\frac{-(-\frac{1}{\cos^2(xy)}\cdot y)}{1-\frac{1}{\cos^2(xy)}\cdot x}=

=\frac{\frac{y}{\cos^2(xy)}}{1-\frac{x}{\cos^2(xy)}}

נציב בנגזרת שקיבלנו את נקודת ההשקה:

y'(\frac{\pi}{4})=\frac{\frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{4}\cdot 1)}}{1-\frac{\frac{\pi}{4}}{\cos^2(\frac{\pi}{4}\cdot 1)}}=\frac{4}{2-\pi}

לבסוף, נציב את הנקודה ואת השיפוע בנוסחה למשוואת משיק:

y-y_0=y'(x)(x-x_0)

y-1=\frac{4}{2-\pi}\cdot(x-\frac{\pi}{4})

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה