fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת של פונקציה סתומה – חישוב משוואת משיק – תרגיל 4348

תרגיל 

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה הנתונה במשוואה:

x^3+x-\frac{2{(x+y)}^3}{x}=0

בנקודה x=1.

תשובה סופית


y=0

פתרון

כדי למצוא משוואת משיק, אנו צריכים נקודה ושיפוע בנקודה. נציב x=1 כדי למצוא את ערך y של הנקודה:

1^3+1-\frac{2{(1+y)}^3}{1}=0

2-2{(1+y)}^3=0

2=2{(1+y)}^3

1={(1+y)}^3

1=1+y

y=0

קיבלנו שנקודת ההשקה היא (1,0).

כעת נחשב את השיפוע בעזרת נוסחת הנגזרת ממשפט הפונקציה הסתומה.

הפונקציה נתונה בצורה סתומה במשוואה:

x^3+x-\frac{2{(x+y)}^3}{x}=0

נגדיר פונקציה חדשה. המשתנים שלה יהיו כל המשתנים המופיעים במשוואה. מקבלים את הפונקציה:

z(x,y)=x^3+x-\frac{2{(x+y)}^3}{x}

נרצה להשתמש בנוסחת נגזרת לפונקציה סתומה:

y'(x)=\frac{-z'_x}{z'_y}

נחשב את הנגזרות החלקיות של z:

z'_x=3x^2+1-\frac{6{(x+y)}^2\cdot x-2{(x+y)}^3}{1}=

=3x^2+1-6{(x+y)}^2\cdot x+2{(x+y)}^3

z'_y=-\frac{2}{x}\cdot 3{(x+y)}^2=-\frac{6}{x}{(x+y)}^2

נציב בנוסחה:

y'(x)=\frac{-z'_x}{z'_y}=\frac{-(3x^2+1-6{(x+y)}^2\cdot x+2{(x+y)}^3)}{-\frac{6}{x}{(x+y)}^2}

נציב בנגזרת שקיבלנו את נקודת ההשקה (0,1):

y'(1)=\frac{-z'_x(1,0)}{z'_y(1,0)}=\frac{-(3\cdot 1^2+1-6{(1+0)}^2\cdot 1+2{(1+0)}^3)}{-\frac{6}{1}{(1+0)}^2}=0

לבסוף, נציב את הנקודה ואת השיפוע בנוסחה למשוואת משיק:

y-y_0=y'(x)(x-x_0)

y-0=0\cdot(x-1)

y=0

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה