fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

גרדיאנט – משוואת מישור משיק למשטח רמה – תרגיל 4382

תרגיל 

מצאו משטח רמה של השדה הסקלרי:

u=\frac{x^2+y^2}{z}

העובר בנקודה (2,4,10). חשבו  את משוואת המישור המשיק למשטח הרמה בנקודה.

תשובה סופית


\frac{x^2+y^2}{z}=2

2x+4y-z=10

פתרון

נמצא את משטח הרמה – נקבע את u להיות הפרמטר c:

c=\frac{x^2+y^2}{z}

ונציב את הנקודה:

c=\frac{2^2+4^2}{10}

c=2

מכאן, משטח הרמה הוא:

\frac{x^2+y^2}{z}=2

נמצא את משוואת המישור המשיק למשטח הרמה בנקודה.

כדי למצוא משוואת מישור משיק, אנו צריכים נקודה ונורמל (וקטור מאונך למישור). נקודה נתונה בשאלה, לכן נותר לנו למצוא את וקטור הנורמל – וקטור המאונך למישור.

וקטור הגרדיאנט בנקודה הוא וקטור המאונך למישור, ולכן הוא יהיה הנורמל שאנו מחפשים. לשם כך, נעביר את כל האיברים במשטח הרמה לאגף אחד:

\frac{x^2+y^2}{z}-2=0

נגדיר פונקציה חדשה:

h(x,y,z)=\frac{x^2+y^2}{z}-2

נחשב לפונקציה את וקטור הגרדיאנט:

\nabla h=h'_x\vec{i}+h'_y\vec{j}+h'_z\vec{k}=

=(h'_x,h'_y,h'_z)

בנוסחה מופיעות הנגזרות של הפונקציה. לכן, נגזור:

h'_x(x,y,z)=\frac{2x}{z}

h'_y(x,y,z)=\frac{2y}{z}

h'_z(x,y,z)=-\frac{x^2+y^2}{z^2}

נציב בווקטור הגרדיאנט ונקבל:

\nabla h(x,y,z)=(\frac{2x}{z},\frac{2y}{z},-\frac{x^2+y^2}{z^2})

נציב את הנקודה ונקבל:

\nabla h(2,4,10)=(\frac{4}{10},\frac{8}{10},-\frac{2}{10})

כלומר הנורמל למישור הוא

\vec{N}=(\frac{4}{10},\frac{8}{10},-\frac{2}{10})

נציב את הנקודה ואת הנורמל בנוסחה למשוואת מישור ונקבל:

\frac{4}{10}(x-2)+\frac{8}{10}(y-4)-\frac{2}{10}(z-10)=0

נכפול ב-10:

-3x+9+y-1+z-4=0

4x-8+8y-32-2z+20=0

4x+8y-2z=20

נחלק ב-2:

2x+4y-z=10

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה