fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

גיאומטריה אנליטית – חישוב משוואת מישור העובר בשני ישרים מקבילים – תרגיל 4417

תרגיל 

חשבו את משוואת המישור העובר דרך שני הישרים המקבילים:

\frac{x+1}{4}=\frac{y+1}{3}=\frac{z}{-2}

\frac{x-2}{4}=\frac{y+1}{3}=\frac{z+3}{-2}

תשובה סופית

3x-2y+3z+1=0

פתרון

כדי למצוא משוואת מישור, אנו צריכים נקודה על המישור ונורמל (וקטור אנכי למישור). ניקח נקודה מכל ישר.

נציב x=-1,y=-1 בישר:

\frac{x+1}{4}=\frac{y+1}{3}=\frac{z}{-2}

ונקבל:

\frac{-1+1}{4}=\frac{-1+1}{3}=\frac{z}{-2}

z=0

קיבלנו שהנקודה

(-1,-1,0)

על הישר, ולכן גם על המישור.

נציב x=2,y=-1 בישר:

\frac{x-2}{4}=\frac{y+1}{3}=\frac{z+3}{-2}

ונקבל:

\frac{2-2}{4}=\frac{-1+1}{3}=\frac{z+3}{-2}

z=-3

קיבלנו שהנקודה

(2,-1,-3)

על הישר, ולכן גם על המישור.

יש לנו שתי נקודות על המישור, ניצור מהן וקטור (גם הוא על המישור):

\vec{a}=(2,-1,-3)-(-1,-1,0)=(3,0,-3)

וקטור הכיוון של הישרים גם נמצא על המישור (כי הישרים על המישור) והוא

\vec{p}=(4,3,-2)

כעת, נכפול במכפלה וקטורית את שני הוקטורים. התוצאה של מכפלה וקטורית היא וקטור המאונך למישור הנוצר על ידי שני הווקטורים במכפלה. מכיוון ששני הווקטורים על המישור, נקבל וקטור המאונך למישור, כלומר נורמל למישור.

\vec{a}\times \vec{p}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 0 & -3 \\ 4 & 3 & -2 \end{vmatrix}=

=9\vec{i}-6\vec{j}+9\vec{k}

יש לנו נורמל למישור:

\vec{N}=9\vec{i}-6\vec{j}+9\vec{k}

ניקח נקודה על המישור:

(2,-1,-3)

ונציב את שניהם בנוסחה למשוואת מישור:

9(x-2)-6(y+1)+9(z+3)=0

9x-18-6y-6+9z+27=0

9x-6y+9z+3=0

אפשר לחלק ב-3:

3x-2y+3z+1=0

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה