fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

גיאומטריה אנליטית – חישוב זווית בין ישרים – תרגיל 4419

תרגיל 

חשבו את קוסינוס הזווית בין הישר:

\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+5}{3}

ובין הישר הנתון כחיתוך של שני מישורים:

2x-y+3z=1

5x+4y-z=7

תשובה סופית

\cos\alpha=\frac{34}{\sqrt{8106}}

פתרון

נמצא את קוסינוס הזווית בין הישרים בעזרת נוסחה המשתמשת בווקטורי הכיוון שלהם.

וקטור הכיוון של הישר הראשון הוא

\vec{p_1}=(2,1,3)

נמצא את וקטור הכיוון של הישר השני. הישר נתון כחיתוך בין שני מישורים. שני הנורמלים של המישורים האלה יוצרים מישור שהנורמל שלו מקביל לווקטור הכיוון של הישר. לכן, נכפול במכפלה וקטורית את שני הנורמלים של המישורים והתוצאה תהיה וקטור הכיוון המבוקש.

\vec{p_2}=\vec{N_1}\times \vec{N_2}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 5 & 4 & -1 \end{vmatrix}=

=-11\vec{i}+17\vec{j}+13\vec{k}

קיבלנו שווקטור הכיוון של הישר השני הוא

\vec{p_2}=(-11,17,13)

כעת, נחשב את הזווית בין הישרים בעזרת וקטורי הכיוון שלהם לפי הנוסחה:

\cos\alpha=\frac{\vec{p_1}\cdot\vec{p_2}}{|\vec{p_1}|\cdot|\vec{p_2}|}=

=\frac{(2,1,3)\cdot(-11,17,13)}{|(2,1,3)|\cdot|(-11,17,13)|}=

=\frac{2\cdot (-11)+1\cdot 17+3\cdot 13}{\sqrt{2^2+1^2+3^2}\cdot\sqrt{{(-11)}^2+17^2+13^2}}=

=\frac{-22+17+39}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{579}}=

=\frac{34}{\sqrt{8106}}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה