fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

גיאומטריה אנליטית – חישוב מרחק מנקודה לישר – תרגיל 4434

תרגיל 

חשבו את המרחק מהנקודה:

A(1,-1,3)

לישר:

\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-1}{3}

תשובה סופית

d=\sqrt{\frac{69}{14}}

פתרון

כדי לחשב את המרחק מהנקודה לישר, ניקח נקודה כלשהי על הישר, למשל הנקודה

M_0=(-1,2,1)

הנקודה על הישר, כי היא מאפסת את כל המונים במשוואת הישר.

ניצור וקטור בין הנקודה A לנקודה שעל הישר:

\vec{M_0A}=(1,-1,3)-(-1,2,1)=(2,-3,2)

הווקטור שיצרנו ווקטור הכיוון של הישר יוצרים מקבילית. לכן, נכפול אותם במכפלה וקטורית ונחשב את גודל (אורך) הווקטור שנקבל, כי הוא שווה לשטח המקבילית.

וקטור הכיוון של הישר הוא

\vec{p}=(2,-1,3)

נכפול במכפלה וקטורית:

\vec{M_0A}\times \vec{p}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix}=

=-7\vec{i}-2\vec{j}+4\vec{k}

תוצאת המכפלה היא וקטור. נחשב את גודלו:

|\vec{M_0A}\times \vec{p}|=\sqrt{7^2+2^2+4^2}=\sqrt{69}

מכאן, שטח המקבילית הבנויה מווקטור הכיוון של הישר והווקטור שיצרנו בין שתי הנקודות הוא

S=\sqrt{69}

מצד שני, שטח מקבילית מוצאים לפי הנוסחה:

S=h\cdot b

כאשר b זה בסיס המקבילית ו-h זה הגובה שלה. בתרגיל שלנו b זה גודל וקטור הכיוון p והגובה h זה בדיוק המרחק d שאנחנו מחפשים. לכן, נציב את הנתונים בנוסחה:

S=h\cdot b=d\cdot |\vec{p}|=

=d\cdot\sqrt{2^2+1^2+3^2}=\sqrt{14}

נציב את שטח המקבילית שמצאנו ונקבל:

\sqrt{69}=d\cdot\sqrt{14}

כאמור, d זה המרחק שאנו מחפשים. נבודד אותו ונקבל את התשובה:

d=\frac{\sqrt{69}}{\sqrt{14}}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה