fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

גיאומטריה אנליטית – חישוב משוואת ישר הנתון כחיתוך של שני מישורים – תרגיל 4436

תרגיל 

חשבו את המשוואה הקנונית של הישר הנתון כחיתוך של שני המישורים:

3x+2y-z-3=0

x-y+3z=1

תשובה סופית

\frac{x}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-1}{-1}

פתרון

כדי לחשב את משוואת ישר, אנו צריכים נקודה על הישר ווקטור כיוון של הישר.

נמצא נקודה על הישר – נציב x=0 (אפשר לקבוע כל מספר אחר) במשוואות המישורים ונקבל:

2y-z=3

-y+3z=1

קיבלנו שתי משוואות בשני נעלמים. נבודד את y במשוואה השנייה:

y=3z-1

נציב במשוואה הראשונה:

2(3z-1)-z=3

6z-2-z=3

5z=5

z=1

נציב במשוואה השנייה ונקבל:

y=3\cdot 1-1=2

קיבלנו שהנקודה

(0,2,1)

נמצאת בשני המישורים, לכן היא נמצאת גם בחיתוך ביניהם, כלומר בישר.

כעת נמצא וקטור כיוון לישר.

אם נכפול במכפלה וקטורית את שני הנורמלים של המישורים (וקטורים מאונכים למישורים), התוצאה תהיה וקטור המאונך למישור שנוצר על ידי שני הנורמלים, כלומר מקביל לישר. לכן, הוא יהיה וקטור הכיוון של הישר.

הנורמל של המישור הראשון:

\vec{N_1}=(3,2,-1)

הנורמל של המישור השני:

\vec{N_2}=(1,-1,3)

נכפול במכפלה וקטורית:

\vec{M_0A}\times \vec{p}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix}=

=5\vec{i}-10\vec{j}-5\vec{k}

מכאן, וקטור הכיוון של הישר הוא

\vec{p}=(5,-10,-5)

נציב את הנקודה ואת וקטור הכיוון במשוואת ישר ונקבל:

\frac{x-0}{5}=\frac{y-2}{-10}=\frac{z-1}{-5}

אם רוצים, אפשר לכפול ב-5:

\frac{x}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-1}{-1}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה