fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

גיאומטריה אנליטית – חישוב נקודה סימטרית ביחס למישור – תרגיל 4447

תרגיל 

חשבו את הנקודה הסימטרית לנקודה:

(2,-3,4)

ביחס למישור:

3x+4y+5z+36=0

תשובה סופית

(-4,-11,-6)

פתרון

הנקודה הסימטרית היא הנקודה שנמצאת במרחק זהה למישור כמו הנקודה הנתונה בצד השני של המישור (כמו השתקפות במראה). כדי למצוא אותה, נעשה את הפעולות האלה:

1. נחשב את משוואת הישר העובר דרך הנקודה הנתונה ואנכי למישור.

2. נחשב את נקודת החיתוך בין משוואת הישר שמצאנו לבין המישור.

3. נחשב את הנקודה על הישר בצד השני של המישור במרחק זהה מהמישור כמו מרחק הנקודה הנתונה – זו הנקודה הסימטרית.

נתחיל מחישוב משוואת הישר. כדי לחשב משוואת ישר, אנו צריכים נקודה ווקטור כיוון. הנקודה נתונה בשאלה:

(2,-3,4)

וקטור הכיוון יהיה הנורמל של המישור, כי שניהם מאונכים למישור ולכן מקבילים אחד לשני. הנורמל של המישור הוא

\vec{N}=(3,4,5)

נציב את הנקודה ואת וקטור הכיוון (הנורמל של המישור) במשוואת ישר. נבחר בהצגה פרמטרית, כי אנו רוצים לחשב את נקודת החיתוך עם המישור. משוואת הישר היא

x=2+3t

y=-3+4t

z=4+5t

נציב את משוואת הישר (בהצגה פרמטרית) במשוואת המישור, כדי למצוא את החיתוך ביניהם:

3(2+3t)+4(-3+4t)+5(4+5t)+36=0

6+9t-12+16t+20+25t+36=0

50t=-50

t=-1

נציב את ה-t שמצאנו במשוואת הישר ונקבל את נקודת החיתוך:

x=2+3\cdot (-1)=-1

y=-3+4\cdot (-1)=-7

z=4+5\cdot (-1)=-1

קיבלנו שנקודת החיתוך היא

(-1,-7,-1)

נסמן את הנקודה הסימטרית:

(x,y,z)

נקודת החיתוך נמצאת בדיוק באמצע בין הנקודה הנתונה בשאלה לבין הנקודה הסימטרית. לכן, נשתמש בנוסחת הממוצע כדי למצוא את רכיבי הנקודה הסימטרית:

\frac{x+2}{2}=-1 \Longrightarrow x+2=-2 \Longrightarrow x=-4

\frac{y-3}{2}=-7 \Longrightarrow y-3=-14 \Longrightarrow y=-11

\frac{z+4}{2}=-1 \Longrightarrow z+4=-2 \Longrightarrow z=-6

קיבלנו שהנקודה הסימטרית היא

(-4,-11,-6)

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה