fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

גיאומטריה אנליטית – חישוב נקודה סימטרית ביחס לישר – תרגיל 4451

תרגיל 

חשבו את הנקודה הסימטרית לנקודה:

P(4,3,10)

ביחס לישר L:

x=1+2t

y=2+4t

z=3+5t

תשובה סופית

(2,9,6)

פתרון

הנקודה הסימטרית היא הנקודה שנמצאת במרחק זהה לישר כמו הנקודה הנתונה בצד השני של הישר (כמו השתקפות במראה). כדי למצוא אותה, נעשה את הפעולות האלה:

1. נחשב את הווקטור העובר בנקודה הנתונה P ומאונך לישר L.

2. נחשב את נקודת החיתוך בין הווקטור שמצאנו למשוואת הישר L.

3. נחשב את הנקודה הנמצאת במרחק זהה מהישר הנתון כמו מרחק הנקודה הנתונה, אבל בצד השני של הישר – זו הנקודה הסימטרית.

נחשב את הווקטור העובר בנקודה הנתונה ומאונך לישר. את נקודת החיתוך בין הווקטור לישר הנתון נסמן כך:

Q(x_1,y_1,z_1)

מכאן, הווקטור PQ הוא

\vec{PQ}=(x_1,y_1,z_1)-(4,3,10)=

=(x_1-4,y_1-3,z_1-10)

וקטור הכיוון של הישר L הוא

\vec{p}=(2,4,5)

ושני הווקטורים – וקטור הכיוון p והווקטור PQ מאונכים אחד לשני. לכן, המכפלה הסקלרית שלהם שווה אפס:

\vec{PQ}\cdot\vec{p}=0

(x_1-4,y_1-3,z_1-10)\cdot (2,4,5)=0

2(x_1-4)+4(y_1-3)+5(z_1-10)=0

אבל Q היא נקודה על הישר L, ולכן מקיימת את משוואת הישר:

x_1=1+2t

y_1=2+4t

z_1=3+5t

נציב את זה במשוואה של המכפלה הסקלרית ונקבל את t:

2(1+2t-4)+4(2+4t-3)+5(3+5t-10)=0

2(2t-3)+4(4t-1)+5(5t-7)=0

4t-6+16t-4+25t-35=0

45t=45

t=1

נציב במשוואת הישר ונמצא את Q:

x_1=1+2\cdot 1=3

y_1=2+4\cdot 1 = 6

z_1=3+5\cdot 1 =8

מצאנו את הנקודה Q:

Q(3,6,8)

נסמן את הנקודה הסימטרית R כך:

R(x_0,y_0,z_0)

Q נמצאת בדיוק באמצע בין P ל-R, לכן נשתמש בנוסחת הממוצע ונקבל:

\frac{x_0+4}{2}=3 \Longrightarrow x_0+4=6 \Longrightarrow x_0=2

\frac{y_0+3}{2}=6 \Longrightarrow y_0+3=12 \Longrightarrow y_0=9

\frac{z_0+10}{2}=8 \Longrightarrow z_0+10=16 \Longrightarrow z_0=6

קיבלנו שהנקודה הסימטרית היא

R(2,9,6)

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה