fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה- פונקציה בחזקת פונקציה עם e – תרגיל 555

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow \infty} { ( 1 +2 e^{-x} ) }^{e^x + x}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow \infty} { ( 1 +2 e^{-x} ) }^{e^x + x}=e^2

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = \infty

ונקבל:

{ ( 1 +2 e^{-\infty} ) }^{e^\infty + x}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאחד בחזקת אינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

טיפ: כאשר הפונקציה שלנו היא בעצם פונקציה בחזקת פונקציה ומקבלים בהצבה ביטוי שהוא “שואף לאחד בחזקת אינסוף” – זה בדרך כלל רמז להשתמש בגבול אוילר.

נסדר את הפונקציה בתרגיל שלנו כדי להשתמש בגבול אוילר:

\lim _ { x \rightarrow \infty} { ( 1 +2 e^{-x} ) }^{e^x + x}=

בבסיס יש לנו הביטוי:

1 +2 e^{-x}

ומתקיים:

\lim _ { x \rightarrow \infty} 2 e^{-x} = 0

נוסיף לחזקה את הביטוי ההופכי כדי להשתמש בגבול אוילר:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} { ( 1 +2 e^{-x} ) }^{\frac{1}{2 e ^{-x}}\cdot 2 e ^{-x}\cdot (e^x + x)}=

כעת, לפי גבול אוילר מתקיים:

\lim _ { x \rightarrow \infty} { ( 1 +2 e^{-x} ) }^{\frac{1}{2 e ^{-x}}}=e

נחשב את הגבול על הביטוי שנשאר בחזקה:

\lim _ { x \rightarrow \infty} 2 e ^{-x}\cdot (e^x + x)=

=2\lim _ { x \rightarrow \infty}\frac{e^x + x}{ e ^x}=

הצבה תיתן “אינסוף חלקֵי אינסוף”. לכן, נשתמש בכלל לופיטל – נגזור מונה ומכנה בנפרד ונקבל:

=2\lim _ { x \rightarrow \infty}\frac{e^x + 1}{ e ^x}=

=2\lim _ { x \rightarrow \infty}1+\frac{1}{ e ^x}=

נציב שוב אינסוף ונקבל:

=2\cdot(1+\frac{1}{ e ^{\infty}})=

=2\cdot(1+\frac{1}{\infty})=

=2\cdot(1+0)=

=2

ולכן, יחד מקבלים:

\lim _ { x \rightarrow \infty} { ( 1 +2 e^{-x} ) }^{\frac{1}{2 e ^{-x}}\cdot (2 e ^{-x})\cdot e^x + 1} = e^2

פתרון מפורט בוידאו

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה