fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – דוגמה שבה כלל לופיטל אינו עוזר – תרגיל 541

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=-1

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = -\infty

ונקבל:

\frac{-\infty}{\sqrt{\infty^2+1}}=\frac{-\infty}{\infty}

קיבלנו את המצב: אינסוף חלקֵי אינסוף. זה מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. במקרה אי-ודאות מסוג זה בדרך כלל נפעיל את כלל לופיטל. ננסה אפוא גם בתרגיל זה. נפעיל את כלל לופיטל ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{1}{\frac{2 x}{2 \sqrt{x^2 + 1}}}=

=\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}=

נציב שוב אינסוף ונקבל:

=\frac{\sqrt{{-\infty}^2 + 1}}{-\infty}=\frac{\infty}{-\infty}

נשארנו באותו מצב 🙁 כלל לופיטל לא עוזר לנו כאן.

נחזור לתרגיל המקורי ונחלק מונה ומכנה בגורם המוביל (=החזקה הגבוהה ביותר של x), כלומר נחלק מונה ומכנה ב-x (בחזקת 1). נכון שמופיע גם x בריבוע, אבל הוא נמצא בתוך שורש, ולכן החזקה שלו תרד ל-1.

\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=

=\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}}=

כעת, צריך לשים לב ש-x שואף למינוס אינסוף, כלומר הוא שלילי, ולכן מתקיים:

x=-\sqrt{x^2}

נציב זאת בגבול ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^2+1}}{-\sqrt{x^2}}}=

=\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{1}{-\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}}=

=\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{1}{-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=

נציב שוב מינוס אינסוף, והפעם נקבל:

=\frac{1}{-\sqrt{1+\frac{1}{{(-\infty)}^2}}}=

=\frac{1}{-\sqrt{1+\frac{1}{{\infty}}}}=

=\frac{1}{-\sqrt{1+0}}=

=\frac{1}{-\sqrt{1}}=

=\frac{1}{-1}=

=-1

הערה: מספר סופי חלקֵי אינסוף מוגדר ושווה לאפס. לרשימה המלאה לחצו כאן.

פתרון מפורט בוידאו

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה