fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – פונקציה עם פרמטר – תרגיל 800

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \frac{4 x^2+kx+7k-6}{2x^2-5x-3}

k פרמטר. לאיזה ערך של k הגבול הזה סופי:

\lim _ { x \rightarrow 3} f(x)

תשובה סופית


k=-3

פתרון

\lim _ { x \rightarrow 3} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 3} \frac{4 x^2+kx+7k-6}{2x^2-5x-3}=

זו פונקציה רציונלית, כלומר מנה של פולינומים. נציב

x=3

במכנה ההצבה נותנת ‘שואף לאפס’. במונה – יש 3 אפשרויות: מספר סופי, ‘שואף לאפס’ או אינסוף. מספר סופי או אינסוף ייתנו גבול אינסופי (כי במכנה יוצא לנו ‘שואף לאפס’). וזה לא עוזר לנו, כי אנחנו מחפשים גבול סופי. לכן, כדי לקבל גבול סופי, אנחנו צריכים שגם במונה הצבה תיתן ‘שואף לאפס’.

תזכורת: כאשר מציבים מספר בפולינום ומקבלים אפס, זה אומר שהמספר שהצבנו הוא שורש של הפולינום. ולכן, הוא יופיע בפירוק לגורמים של הפולינום. למשל, אם 

x=a

נותן אפס בהצבה בפולינום, אז בפירוק של הפולינום לגורמים יופיע בוודאות הגורם:

(x-a)

לכן, מכיוון שההצבה:

x=3

נתנה אפס במכנה (‘שואף לאפס’ ליתר דיוק), נרצה ש:

x=3

ייתן גם אפס במונה. לכן, נציב זאת במונה ונשווה לאפס:

4\cdot 3^2+k\cdot 3+7k-6=0

36+3k+7k-6=0

10k=-30

k=-3

נציב בפולינום ונקבל:

4x^2-21-6=4x^2-3x-27

קיבלנו שעבור:

k=-3

מקבלים גם במונה וגם במכנה שואף לאפס. זה אומר ש:

x=3

הוא שורש של שני הפולינומים, ולכן הגורם:

(x-3)

יופיע בשניהם כשנפרק אותם לגורמים. נעשה זאת.

נפרק את המכנה בעזרת נוסחת השורשים:

x_{1,2}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{{(-5)}^2-4\cdot 2\cdot (-3)}}{2\cdot 2}=

=\frac{5\pm\sqrt{49}}{4}

x_1=\frac{5 + 7}{4}=3

x_1=\frac{5 - 7}{4}=-\frac{1}{2}

קיבלנו שהשורשים של הפולינום הם:

-\frac{1}{2} , 3

מכאן, הפירוק לגורמים של הפולינום הוא:

2x^2-5x-3=2(x-3)(x+\frac{1}{2})=

=2(x-3)(x+\frac{1}{2})=

=(x-3)(2x+1)=

באופן דומה, מקבלים שהפירוק של הפולינום במונה הוא:

=4x^2-3x-27=(x-3)(4x+9)

נציב בתרגיל ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 3} \frac{4 x^2+kx+7k-6}{2x^2-5x-3}=

=\lim _ { x \rightarrow 3} \frac{(x-3)(4x+9)}{(x-3)(2x+1)}=

נצמצם את הגורם “הבעייתי” שהוביל למצב אי-ודאות:

=\lim _ { x \rightarrow 3} \frac{4x+9}{2x+1}=

נציב שוב

x=3

והפעם נקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 3} \frac{4x+9}{2x+1}=\frac{21}{7}=3

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה