fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה- מנה של פונקציות עם שורשים – תרגיל 5827

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}}{\sqrt{4x+1}-\sqrt{5x-1}}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}}{\sqrt{4x+1}-\sqrt{5x-1}}=3

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 2

ונקבל:

\frac{\sqrt{2+2}-\sqrt{3\cdot 2-2}}{\sqrt{4\cdot 2+1}-\sqrt{5\cdot 2-1}}=\frac{0}{0}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

טיפ: כאשר אנו נמצאים במצב של “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס” ו-x שואף למספר סופי – אם יש ביטוי מהצורה a-b ולפחות אחד האיברים הוא שורש, אז ננסה את שיטת הכפל בצמוד.

במונה ובמכנה יש לנו ביטוי מהצורה a-b כאשר גם a וגם b הם שורשים, לכן נשתמש בשיטת הכפל בצמוד ונכפול את המונה ואת המכנה גם בצמוד של הביטוי במונה וגם בצמוד של הביטוי במכנה. נקבל:

\lim _ { x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}}{\sqrt{4x+1}-\sqrt{5x-1}}=

=\lim _ { x \rightarrow 2} \frac{(\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2})(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2})(\sqrt{4x+1}+\sqrt{5x-1})}{(\sqrt{4x+1}-\sqrt{5x-1})(\sqrt{4x+1}+\sqrt{5x-1})(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2})}=

נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר (ממעלה שנייה, נוסחה שלישית), ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 2} \frac{(x+2-(3x-2))(\sqrt{4x+1}+\sqrt{5x-1})}{(4x+1-(5x-1))(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2})}=

=\lim _ { x \rightarrow 2} \frac{(x+2-3x+2)(\sqrt{4x+1}+\sqrt{5x-1})}{(4x+1-5x+1)(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2})}=

=\lim _ { x \rightarrow 2} \frac{(4-2x)(\sqrt{4x+1}+\sqrt{5x-1})}{(2-x)(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2})}=

=\lim _ { x \rightarrow 2} \frac{2(2-x)(\sqrt{4x+1}+\sqrt{5x-1})}{(2-x)(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2})}=

נצמצם ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 2} \frac{2(\sqrt{4x+1}+\sqrt{5x-1})}{(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2})}=

נציב שוב:

x = 2

ונקבל:

=\frac{2(\sqrt{4\cdot 2+1}+\sqrt{5\cdot 2-1})}{(\sqrt{2+2}+\sqrt{3\cdot 2-2})}=

=\frac{2(\sqrt{8+1}+\sqrt{10-1})}{(\sqrt{4}+\sqrt{6-2})}=

=\frac{2(\sqrt{9}+\sqrt{9})}{(\sqrt{4}+\sqrt{4})}=

=\frac{2(3+3)}{(2+2)}=

=\frac{12}{4}=

=3

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה