fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה- הפרש מנות של פונקציות עם שורש רגיל ושורש שלישי – תרגיל 5829

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{3}{1-\sqrt{x}}-\frac{2}{1-\sqrt[3]{x}}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{3}{1-\sqrt{x}}-\frac{2}{1-\sqrt[3]{x}}=\frac{1}{2}

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 1

ונקבל:

\frac{3}{1-\sqrt{1}}-\frac{2}{1-\sqrt[3]{1}}=\infty-\infty

קיבלנו ביטוי שהוא “אינסוף פחות אינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

טיפ: כאשר יש לנו שורשים מסוגים שונים, ננסה בשיטת ההצבה להיפטר מהם. ההצבה הקלה ביותר היא הכפולה המשותפת המינימלית. 

כדי להיפטר מהשורשים, נציב משתנה חדש:

t=x^{\frac{1}{6}}

מכיוון שמתקיים:

x \rightarrow 1

מהגדרת t נובע שמתקיים:

t \rightarrow 1

נציב את המשתנה החדש t ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{3}{1-\sqrt{x}}-\frac{2}{1-\sqrt[3]{x}}=

=\lim _ { t \rightarrow 1} \frac{3}{1-t^3}-\frac{2}{1-t^2}=

נפרק את המכנה לגורמים:

=\lim _ { t \rightarrow 1} \frac{3}{(1-t)(1+t+t^2)}-\frac{2}{(1-t)(1+t)}=

נעשה מכנה משותף:

=\lim _ { t \rightarrow 1} \frac{3(1+t)-2(1+t+t^2)}{(1-t)(1+t)(1+t+t^2)}=

=\lim _ { t \rightarrow 1} \frac{3+3t-2-2t-2t^2}{(1-t)(1+t)(1+t+t^2)}=

=\lim _ { t \rightarrow 1} \frac{-2t^2+t+1}{(1-t)(1+t)(1+t+t^2)}=

נפרק את המונה לגורמים בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:

=\lim _ { t \rightarrow 1} \frac{(-2t-1)(t-1)}{(1-t)(1+t)(1+t+t^2)}=

=\lim _ { t \rightarrow 1} \frac{-(2t+1)(t-1)}{(1-t)(1+t)(1+t+t^2)}=

=\lim _ { t \rightarrow 1} \frac{(2t+1)(1-t)}{(1-t)(1+t)(1+t+t^2)}=

נצמצם ונקבל:

=\lim _ { t \rightarrow 1} \frac{2t+1}{(1+t)(1+t+t^2)}=

נציב שוב:

x = 1

ונקבל:

=\frac{2\cdot 1+1}{(1+1)(1+1+1^2)}=

=\frac{2+1}{2\cdot 3}=

=\frac{3}{6}=

=\frac{1}{2}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה