fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה- מנה של פולינומים בחזקת פולינום – תרגיל 5850

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{5x^2+6}{5x^2+7})}^{15x^2+1}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{5x^2+6}{5x^2+7})}^{15x^2+1}=e^{-3}

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = \infty

ונקבל:

{(\frac{5\cdot\infty^2+6}{5\cdot\infty^2+7})}^{15\cdot\infty^2+1}

קיבלנו ביטוי שהוא “אינסוף חלקֵי אינסוף” בבסיס. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

טיפ: כאשר הפונקציה שלנו היא בעצם פונקציה בחזקת פונקציה ואפשר לסדר את הבסיס לביטוי מהצורה “1+ביטוי השואף לאפס” – אז ננסה להשתמש בגבול אוילר.

נסדר את הפונקציה בתרגיל שלנו כדי להשתמש בגבול אוילר:

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{5x^2+6}{5x^2+7})}^{15x^2+1}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{5x^2+7-1}{5x^2+7})}^{15x^2+1}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{1}{-(5x^2+7)})}^{15x^2+1}=

בבסיס יש לנו הביטוי:

1+\frac{1}{-(5x^2+7)}

ומתקיים:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1}{-(5x^2+7)} = 0

נוסיף לחזקה את הביטוי ההופכי כדי להשתמש בגבול אוילר:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{1}{-(5x^2+7)})}^{-(5x^2+7)\cdot(\frac{1}{-(5x^2+7)})\cdot(15x^2+1)}=

הערה: שימו לב שהוספנו בחזקה איבר והיפוכו, כדי שלא לשנות את התרגיל המקורי.

כעת, לפי גבול אוילר מתקיים:

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{1}{-(5x^2+7)})}^{-(5x^2+7)}=e

נחשב את הגבול על הביטוי שנשאר בחזקה:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1}{-(5x^2+7)}\cdot(15x^2+1)=

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{15x^2+1}{-(5x^2+7)}=

נחלק מונה ומכנה באיבר בעל החזקה הגבוהה ביותר, ללא המקדם:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\frac{15x^2+1}{x^2}}{\frac{-5x^2-7}{x^2}}=

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{15+\frac{1}{x^2}}{-5-\frac{7}{x^2}}=

מכיוון ש-x שואף לאינסוף, מקבלים:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1}{x^2}=0

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{7}{x^2}=0

לכן, נציב שוב אינסוף ונקבל:

\frac{15+0}{-5-0}=

\frac{15}{-5}=

-3

ולכן, יחד מקבלים:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{1}{-(5x^2+7)})}^{-(5x^2+7)\cdot(\frac{1}{-(5x^2+7)})\cdot(15x^2+1)}=e^{-3}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה