fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה- פולינום בחזקת מנה של פולינומים – תרגיל 5853

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 2} {(x-1)}^{\frac{2}{x-2}}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 2} {(x-1)}^{\frac{2}{x-2}}=e^2

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 2

ונקבל:

{(2-1)}^{\frac{2}{2-2}}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאחד בחזקת אינסוף” בבסיס. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

טיפ: כאשר הפונקציה שלנו היא בעצם פונקציה בחזקת פונקציה ומקבלים בהצבה ביטוי שהוא “שואף לאחד בחזקת אינסוף” – זה בדרך כלל רמז להשתמש בגבול אוילר.

נסדר את הפונקציה בתרגיל שלנו כדי להשתמש בגבול אוילר:

\lim _ { x \rightarrow 2} {(x-1)}^{\frac{2}{x-2}}=

=\lim _ { x \rightarrow 2} {(1+(x-2))}^{\frac{2}{x-2}}=

=\lim _ { x \rightarrow 2} {(1+(x-2))}^{\frac{1}{x-2}\cdot 2}=

בבסיס יש לנו הביטוי:

1+(x-2)

ומתקיים:

\lim _ { x \rightarrow 2} (x-2) = 0

לכן, אפשר להשתמש בגבול אוילר. הביטוי ההופכי כבר נמצא בחזקה, לכן, לפי גבול אוילר, מתקיים:

\lim _ { x \rightarrow 2} {(1+x-2)}^{\frac{1}{x-2}}=e

נשאר רק להוסיף את ה-2 שנותר בחזקה:

=\lim _ { x \rightarrow 2} {(1+x-2)}^{\frac{1}{x-2}\cdot 2}=e^2

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה