fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה- מנה של פונקציות עם שורש – תרגיל 5825

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{x}{\sqrt{x+1}-1}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{x}{\sqrt{x+1}-1}=2

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 0

ונקבל:

\frac{0}{\sqrt{0+1}-1}=\frac{0}{0}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

טיפ: כאשר אנו נמצאים במצב של “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס” ו-x שואף למספר סופי – אם יש ביטוי מהצורה a-b ולפחות אחד האיברים הוא שורש, אז ננסה את שיטת הכפל בצמוד.

במכנה יש לנו ביטוי מהצורה a-b כאשר a הוא איבר בשורש, לכן נשתמש בשיטת הכפל בצמוד ונכפול את המונה ואת המכנה בצמוד של הביטוי במכנה. נקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{x}{\sqrt{x+1}-1}=

=\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{x(\sqrt{x+1}+1)}{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}=

מנוסחת הכפל המקוצר (ממעלה שנייה, נוסחה שלישית), מקבלים במכנה:

=\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{x(\sqrt{x+1}+1)}{x+1-1}=

=\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{x(\sqrt{x+1}+1)}{x}=

נצמצם ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 0} \sqrt{x+1}+1=

נציב שוב:

x = 0

ונקבל:

=\sqrt{0+1}+1=

=\sqrt{1}+1=

=1+1=

=2

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה