fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה- מנה של פולינומים בחזקה גבוהה בשאיפה לאינסוף – תרגיל 5951

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{{(2x-3)}^3{(3x+5)}^2}{x^5+5}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{{(2x-3)}^3{(3x+5)}^2}{x^5+5}=72

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = \infty

ונקבל:

\frac{{(2\infty-3)}^3{(3\infty+5)}^2}{\infty^5+5}

קיבלנו “אינסוף חלקֵי אינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

טיפ: כאשר אנו נמצאים במצב של “אינסוף חלקֵי אינסוף” ו-x שואף לאינסוף, כדאי לנסות לחלק את המונה ואת המכנה בביטוי ששואף הכי מהר לאינסוף, ללא המקדם שלו. בפולינום זה האיבר בעל החזקה הגבוהה ביותר. 

נחלק את המונה ואת המכנה באיבר בעל החזקה הגבוהה ביותר, ללא המקדם:

x^5

ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{{(2x-3)}^3{(3x+5)}^2}{x^5+5}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\frac{{(2x-3)}^3{(3x+5)}^2}{x^5}}{\frac{x^5+5}{x^5}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\frac{{(2x-3)}^3{(3x+5)}^2}{x^3x^2}}{1+\frac{5}{x^5}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{{(\frac{2x-3}{x})}^3{(\frac{3x+5}{x})}^2}{1+\frac{5}{x^5}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{{(2-\frac{3}{x})}^3{(3+\frac{5}{x})}^2}{1+\frac{5}{x^5}}=

מכיוון ש-x שואף לאינסוף, מתקיים:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{3}{x}=0

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{5}{x}=0

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{5}{x^5}=0

הערה: מספר סופי חלקֵי אינסוף מוגדר ושווה לאפס. לרשימה המלאה, לחצו כאן.

לכן, בהצבת

x = \infty

נקבל הפעם:

=\frac{{(2-0)}^3\cdot {(3+0)}^2}{1+0}=

=\frac{2^3\cdot 3^2}{1}=

=8\cdot 9=

=72

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה