fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות שיעזרו לך להצליח!

הרשמו לצפייה בדפי תרגילים פתורים

חישוב גבול של פונקציה – פונקציה רציונלית (מנה של פולינומים) בשאיפה לאינסוף – תרגיל 5946

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{x^2-3x+2}{5x^2+1}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{x^2-3x+2}{5x^2+1}=\frac{1}{5}

פתרון מפורט

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = \infty

ונקבל:

\frac{\infty^2-3\infty+2}{5\infty^2+1}

קיבלנו גם “אינסוף פחות אינסוף” במונה וגם “אינסוף חלקֵי אינסוף”. אלו מקרי אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

טיפ: כאשר אנו נמצאים במצב של “אינסוף חלקֵי אינסוף” ו-x שואף לאינסוף, כדאי לנסות לחלק את המונה ואת המכנה בביטוי ששואף הכי מהר לאינסוף, ללא המקדם שלו. בפולינום זה האיבר בעל החזקה הגבוהה ביותר. 

נחלק את המונה ואת המכנה באיבר בעל החזקה הגבוהה ביותר, ללא המקדם:

x^2

ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{x^2-3x+2}{5x^2+1}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\frac{x^2-3x+2}{x^2}}{\frac{5x^2+1}{x^2}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{5+\frac{1}{x^2}}=

מכיוון ש-x שואף לאינסוף, מתקיים:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{3}{x}=0

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{2}{x^2}=0

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1}{x^2}=0

הערה: מספר סופי חלקֵי אינסוף מוגדר ושווה לאפס. לרשימה המלאה, לחצו כאן.

לכן, בהצבת

x = \infty

נקבל הפעם:

=\frac{1-0+0}{5+0}=

=\frac{1}{5}

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה גישה לדפי תרגילים פתורים בחדו"א?