תרגיל
חשבו את הגבול:
\lim _ { x \rightarrow 1} {(\frac {1+x} {2+x})}^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}}
תשובה סופית
פתרון מפורט
דבר ראשון, נציב בפונקציה x=1 ונקבל:
{(\frac {1+1} {2+1})}^{\frac{1-\sqrt{1}}{1-1}}={(\frac{2}{3})}^{\frac{0}{0}}
קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה.
טיפ: כאשר אנו נמצאים במצב של “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס” ו-x שואף למספר סופי – אם יש ביטוי מהצורה a-b ולפחות אחד מהם הוא שורש, ננסה את שיטת הכפל בצמוד.
במונה של החזקה יש לנו ביטוי מהצורה a-b, כאשר b הוא שורש, לכן נשתמש בשיטת הכפל בצמוד ונכפול את המונה ואת המכנה בצמוד של הביטוי במונה. נקבל:
\lim _ { x \rightarrow 1} {(\frac {1+x} {2+x})}^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}}=
=\lim _ { x \rightarrow 1} {(\frac {1+x} {2+x})}^{\frac{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}{(1-x)(1+\sqrt{x})}}=
נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר (מעלה שנייה, נוסחה שלישית), ונקבל במונה:
=\lim _ { x \rightarrow 1} {(\frac {1+x} {2+x})}^{\frac{1-x}{(1-x)(1+\sqrt{x})}}=
נצמצם:
=\lim _ { x \rightarrow 1} {(\frac {1+x} {2+x})}^{\frac{1}{1+\sqrt{x}}}=
נציב שוב x=1 ונקבל:
={(\frac {1+1} {2+1})}^{\frac{1}{1+\sqrt{1}}}=
={(\frac {2} {3})}^{\frac{1}{1+1}}=
={(\frac {2} {3})}^{\frac{1}{2}}=
=\sqrt{\frac {2} {3}}
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
