fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פולינומים בחזקת מנה של פונקציות עם שורש – תרגיל 5941

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 1} {(\frac {1+x} {2+x})}^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}}

תשובה סופית

\lim _ { x \rightarrow 1} {(\frac {1+x} {2+x})}^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}}=\sqrt{\frac {2} {3}}

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה x=1 ונקבל:

{(\frac {1+1} {2+1})}^{\frac{1-\sqrt{1}}{1-1}}={(\frac{2}{3})}^{\frac{0}{0}}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה.

טיפ: כאשר אנו נמצאים במצב של “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס” ו-x שואף למספר סופי – אם יש ביטוי מהצורה a-b ולפחות אחד מהם הוא שורש, ננסה את שיטת הכפל בצמוד

במונה של החזקה יש לנו ביטוי מהצורה a-b, כאשר b הוא שורש, לכן נשתמש בשיטת הכפל בצמוד ונכפול את המונה ואת המכנה בצמוד של הביטוי במונה. נקבל:

\lim _ { x \rightarrow 1} {(\frac {1+x} {2+x})}^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}}=

=\lim _ { x \rightarrow 1} {(\frac {1+x} {2+x})}^{\frac{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}{(1-x)(1+\sqrt{x})}}=

נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר (מעלה שנייה, נוסחה שלישית), ונקבל במונה:

=\lim _ { x \rightarrow 1} {(\frac {1+x} {2+x})}^{\frac{1-x}{(1-x)(1+\sqrt{x})}}=

נצמצם:

=\lim _ { x \rightarrow 1} {(\frac {1+x} {2+x})}^{\frac{1}{1+\sqrt{x}}}=

נציב שוב x=1 ונקבל:

={(\frac {1+1} {2+1})}^{\frac{1}{1+\sqrt{1}}}=

={(\frac {2} {3})}^{\frac{1}{1+1}}=

={(\frac {2} {3})}^{\frac{1}{2}}=

=\sqrt{\frac {2} {3}}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה