fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פונקציית ln ופולינום – תרגיל 5961

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x^2)}{2x^2}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x^2)}{2x^2}=\frac{1}{2}

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 0

שימו לב שאנו מציבים אפס, אבל בעצם מציבים מספר השואף לאפס, ולא אפס מוחלט.

ונקבל:

\frac{\ln (1+0^2)}{2\cdot 0^2}=\frac{0}{0}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

נסדר את הפונקציה בתרגיל שלנו כדי להשתמש בגבול אוילר:

\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x^2)}{2x^2}=

=\frac{1}{2}\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x^2)}{x^2}=

נשתמש בחוקי לוגריתמים, כדי להעביר את המכנה לחזקה:

=\frac{1}{2}\lim _ { x \rightarrow 0} \ln {(1+x^2)}^{\frac{1}{x^2}}

קיבלנו בבסיס ביטוי מהסוג:

1 + x^2

ומתקיים:

\lim _ { x \rightarrow 0} x^2 = 0

ובחזקה מופיע ההופכי שלו. לכן, לפי אוילר, מתקיים:

\lim _ { x \rightarrow 0} \ln {(1+x^2)}^{\frac{1}{x^2}}=e

נוסיף את המקדם ונקבל:

\frac{1}{2}\lim _ { x \rightarrow 0} \ln {(1+x^2)}^{\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{2}e

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה