fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פונקציות ln ופולינום – תרגיל 5965

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{\ln (a+x)-\ln a}{x}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{\ln (a+x)-\ln a}{x}=\frac{1}{a}

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 0

שימו לב שאנו מציבים אפס, אבל בעצם מציבים מספר השואף לאפס, ולא אפס מוחלט.

ונקבל:

\frac{\ln (a+0)-\ln a}{0}=\frac{0}{0}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{\ln (a+x)-\ln a}{x}=

נשתמש במונה בחוקי לוגריתמים ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{\ln \frac{a+x}{a}}{x}=

נסדר את הפונקציה בתרגיל שלנו כדי להשתמש בגבול אוילר:

=\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\cdot\ln \frac{a+x}{a}=

=\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\cdot\ln (1+\frac{x}{a})=

שוב נשתמש בחוקי לוגריתמים ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 0}\ln {(1+\frac{x}{a})}^{\frac{1}{x}}=

נכניס את הגבול פנימה:

= \ln \lim _ { x \rightarrow 0} {(1+\frac{x}{a})}^{\frac{1}{x}}=

הערה: מותר לנו לעשות זאת, כי ln היא פונקציה רציפה.

קיבלנו בבסיס ביטוי מהסוג:

1+\frac{x}{a}

ומתקיים:

\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{x}{a} = 0

כאשר

x \rightarrow 0

נכפול את החזקה ב-a כדי לקבל את האיבר ההופכי לאיבר שמופיע בבסיס:

= \ln \lim _ { x \rightarrow 0} {(1+\frac{x}{a})}^{\frac{1}{x}\cdot a\cdot\frac{1}{a}}=

הערה: כאשר מוסיפים איבר בכפל, צריך לכפול גם באיבר ההופכי שלו, כדי שהביטוי המקורי לא ישתנה.

לפי גבול אוילר מקבלים:

\ln \lim _ { x \rightarrow 0} {(1+\frac{x}{a})}^{\frac{a}{x}}=e

לכן, סה”כ מקבלים:

= \ln \lim _ { x \rightarrow 0} {(1+\frac{x}{a})}^{\frac{a}{x}\cdot \frac{1}{a}}=\ln e^{ \frac{1}{a}}=

נוריד את החזקה בעזרת חוקי לוגריתמים ונקבל:

=\frac{1}{a}\ln e=

=\frac{1}{a}\cdot 1=

=\frac{1}{a}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה