fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פונקציה עם e ופולינום – תרגיל 5972

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{e^x-e}{x-1}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{e^x-e}{x-1}=e

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 1

ונקבל:

\frac{e^1-e}{1-1}=\frac{0}{0}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{e^x-e}{x-1}=

=\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{e^x(1-e^{1-x})}{x-1}=

=\lim _ { x \rightarrow 1} e^x\frac{e^{1-x}-1}{1-x}=

=\lim _ { x \rightarrow 1} e^x\cdot\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{e^{1-x}-1}{1-x}=

בגבול הראשון, נציב ונקבל את התוצאה:

=e^1\cdot\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{e^{1-x}-1}{1-x}=

בגבול השני, נרצה להשתמש בגבול הידוע:

\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac{e^{x} - 1}{x} = 1

בגבול הידוע מופיע x והוא שואף ל-0. בתרגיל שלנו, מופיע הביטוי:

1-x

והמשתנה x שואף ל-1, אך יחד מקבלים שהביטוי שואף ל-0 כנדרש:

\lim _ { x \rightarrow 1 } 1-x = 0

לכן, אפשר להשתמש בגבול הידוע, ומקבלים:

=e\cdot\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{e^{1-x}-1}{1-x}=

=e\cdot 1=

=e

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה