fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פונקציה עם e ופולינום – תרגיל 5977

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{e^{2x}-1}{3x}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{e^{2x}-1}{3x}=\frac{2}{3}

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 0

ונקבל:

\frac{e^{2\cdot 0}-1}{3\cdot 0}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

נרצה להשתמש בגבול הידוע:

\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac{e^{x} - 1}{x} = 1

לכן, נסדר את הפונקציה שלנו שתתאים לגבול הידוע.

\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{e^{2x}-1}{3x}=

=\frac{1}{3}\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{e^{2x}-1}{x}=

כעת, אנחנו צריכים שהביטוי בחזקה יהיה בדיוק אותו דבר כמו הביטוי במכנה. לכן, נכפול את המכנה ב-2:

=\frac{1}{3}\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{e^{2x}-1}{\frac{1}{2}\cdot 2\cdot x}=

הערה: כפלנו גם במספר ההופכי, כדי שהביטוי המקורי לא ישתנה.

נוציא את המספר ההופכי החוצה:

=2\cdot \frac{1}{3}\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{e^{2x}-1}{2x}=

הגענו לביטוי זהה לביטוי שמופיע בגבול הידוע. לפי שנשתמש בו, נוודא שהאיבר של x שאנחנו קיבלנו:

2x

באמת שואף ל-0 כנדרש. ואכן, מתקיים:

\lim _ { x \rightarrow 0 } 2x= 0

לכן, אפשר להשתמש בגבול הידוע ומקבלים:

=\frac{2}{3}\cdot 1=

=\frac{2}{3}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה