fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פונקציות עם e ופולינום – תרגיל 5979

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{e^x-e^{-x}}{2x}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{e^x-e^{-x}}{2x}=1

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 0

ונקבל:

\frac{e^0-e^{-0}}{2\cdot 0}=\frac{0}{0}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{e^x-e^{-x}}{2x}=

=\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{e^x(1-e^{-2x})}{2x}=

=\lim _ { x \rightarrow 0} e^x\cdot \lim _ { x \rightarrow 0}\frac{1-e^{-2x}}{2x}=

בגבול הראשון, נציב ונקבל את התוצאה:

=e^0\cdot \lim _ { x \rightarrow 0}\frac{1-e^{-2x}}{2x}=

בגבול השני, נרצה להשתמש בגבול הידוע:

\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac{e^{x} - 1}{x} = 1

כדי להשתמש בגבול הידוע, נרצה שהאיבר בחזקה יהיה זהה לאיבר במכנה. נסדר זאת:

=1\cdot \lim _ { x \rightarrow 0}\frac{e^{-2x}-1}{-2x}=

בגבול הידוע מופיע x והוא שואף ל-0. בתרגיל שלנו, מופיע הביטוי:

-2x

לפני שנשתמש בגבול הידוע, נוודא שהביטוי שלנו שואף לאפס כנדרש:

\lim _ { x \rightarrow 0} -2x=0

לכן, אפשר להשתמש בגבול הידוע, ומקבלים:

=1\cdot 1=

=1

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה