fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פונקציה עם ln ופולינום – תרגיל 5985

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow e} \frac{\ln x-1}{x-e}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow e} \frac{\ln x-1}{x-e}=\frac{1}{e}

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = e

ונקבל:

\frac{\ln e-1}{e-e}=\frac{0}{0}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

\lim _ { x \rightarrow e} \frac{\ln x-1}{x-e}=

=\lim _ { x \rightarrow e} \frac{\ln x-\ln e}{x-e}=

נשתמש בחוקי לוגריתמים ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow e} \frac{\ln \frac{x}{e}}{x-e}=

=\lim _ { x \rightarrow e} \frac{1}{x-e}\ln \frac{x}{e}=

=\lim _ { x \rightarrow e}\ln {(\frac{x}{e})}^{\frac{1}{x-e}}=

נכניס את הגבול פנימה:

=\ln \lim _ { x \rightarrow e}{(\frac{x}{e})}^{\frac{1}{x-e}}=

הערה: מותר לנו לעשות זאת, כי ln היא פונקציה רציפה.

נסדר את הפונקציה בתרגיל שלנו כדי להשתמש בגבול אוילר:

=\ln \lim _ { x \rightarrow e}{(1-1+\frac{x}{e})}^{\frac{1}{x-e}}=

=\ln\lim _ { x \rightarrow e} {(1+\frac{x-e}{e})}^{\frac{1}{x-e}}=

קיבלנו בבסיס ביטוי מהסוג:

1+\frac{x-e}{e}

ומתקיים:

\lim _ { x \rightarrow e} \frac{x-e}{e} = 0

נסדר את החזקה, כדי לקבל ביטוי הופכי לביטוי שמופיע בבסיס:

=\ln\lim _ { x \rightarrow e} {(1+\frac{x-e}{e})}^{\frac{1}{x-e}\cdot e\cdot\frac{1}{e}}=

הערה: כאשר מוסיפים איבר בכפל, צריך לכפול גם באיבר ההופכי שלו, כדי שהביטוי המקורי לא ישתנה.

=\ln \lim _ { x \rightarrow e}{(1+\frac{x-e}{e})}^{\frac{e}{x-e}\cdot\frac{1}{e}}=

כעת, לפי גבול אוילר מקבלים:

\lim _ { x \rightarrow e}{(1+\frac{x-e}{e})}^{\frac{e}{x-e}}=e

לכן, סה”כ מקבלים:

=\ln \lim _ { x \rightarrow e}{(1+\frac{x-e}{e})}^{\frac{e}{x-e}\cdot\frac{1}{e}}=\ln e^{\frac{1}{e}}

נוריד את החזקה בעזרת חוקי לוגריתמים ונקבל:

=\frac{1}{e}\ln e=

=\frac{1}{e}\cdot 1=

=\frac{1}{e}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה