fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פונקציה מעריכית ופולינום עם פרמטר – תרגיל 5989

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow c} \frac{a^x-a^c}{x-c}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow c} \frac{a^x-a^c}{x-c}=a^c\ln a

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x =c

ונקבל:

\frac{a^c-a^c}{c-c}=\frac{0}{0}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

\lim _ { x \rightarrow c} \frac{a^x-a^c}{x-c}=

נגדיר משתנה חדש:

t=x-c

מכיוון ש-x שואף ל-c, מקבלים שהמשתנה החדש t שואף ל-0. נציב את המשתנה t בגבול ונקבל:

=\lim _ { t \rightarrow 0} \frac{a^ca^t-a^c}{t}=

=a^c\lim _ { t \rightarrow 0} \frac{a^t-1}{t}=

נרצה להשתמש בגבול הידוע:

\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac{e^{x} - 1}{x} = 1

לכן, נסדר את האיבר במונה, כדי לקבל בסיס e:

=a^c\lim _ { t \rightarrow 0} \frac{e^{\ln a^t}-1}{t}=

=a^c\lim _ { t \rightarrow 0} \frac{e^{t\ln a}-1}{t}=

כעת, נסדר את האיבר במכנה שיהיה זהה לאיבר בחזקה:

=a^c\lim _ { t \rightarrow 0} \frac{e^{t\ln a}-1}{t\cdot \ln a\cdot\frac{1}{\ln a}}=

הערה: כאשר מוסיפים איבר בכפל, צריך לכפול גם באיבר ההופכי שלו, כדי שהביטוי המקורי לא ישתנה.

=a^c\lim _ { t \rightarrow 0} \frac{e^{t\ln a}-1}{t\cdot \ln a\cdot\frac{1}{\ln a}}=

=a^c\ln a\lim _ { t \rightarrow 0} \frac{e^{t\ln a}-1}{t\cdot \ln a}=

הגענו לביטוי זהה לביטוי שמופיע בגבול הידוע. לפי שנשתמש בו, נוודא שהאיבר של x שאנחנו קיבלנו:

t\ln a

באמת שואף ל-0 כנדרש. ואכן, מתקיים:

\lim _ { t \rightarrow 0 }t\ln a= 0

לכן, אפשר להשתמש בגבול הידוע ומקבלים:

=a^c\ln a\lim _ { t \rightarrow 0} \frac{e^{t\ln a}-1}{t\cdot \ln a}=

=a^c\ln a\cdot 1=

=a^c\ln a

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה