fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פונקציה מעריכית ופולינום עם פרמטרים – תרגיל 5993

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{e^{ax}-e^{bx}}{x}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{e^{ax}-e^{bx}}{x}=a-b

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x =0

ונקבל:

\frac{e^{a\cdot 0}-e^{b\cdot 0}}{0}=\frac{0}{0}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{e^{ax}-e^{bx}}{x}=

נחלק מונה ומכנה בביטוי:

e^{bx}

ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{\frac{e^{ax}-e^{bx}}{e^{bx}}}{\frac{x}{e^{bx}}}=

=\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{e^{(a-b)x}-1}{x\cdot\frac{1}{e^{bx}}}=

=\lim _ { x \rightarrow 0} e^{bx}\cdot\lim _ { x \rightarrow 0}\frac{e^{(a-b)x}-1}{x}=

בגבול הראשון, נציב ונקבל את התשובה:

=e^{b\cdot 0}\cdot\lim _ { x \rightarrow 0}\frac{e^{(a-b)x}-1}{x}=

=e^0\cdot\lim _ { x \rightarrow 0}\frac{e^{(a-b)x}-1}{x}=

=1\cdot\lim _ { x \rightarrow 0}\frac{e^{(a-b)x}-1}{x}=

=\lim _ { x \rightarrow 0}\frac{e^{(a-b)x}-1}{x}=

בגבול השני, נרצה להשתמש בגבול הידוע:

\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac{e^{x} - 1}{x} = 1

כעת, נסדר את האיבר במכנה שיהיה זהה לאיבר בחזקה:

=\lim _ { x \rightarrow 0}\frac{e^{(a-b)x}-1}{(a-b)x\cdot\frac{1}{(a-b)}}=

הערה: כאשר מוסיפים איבר בכפל, צריך לכפול גם באיבר ההופכי שלו, כדי שהביטוי המקורי לא ישתנה.

=(a-b)\lim _ { x \rightarrow 0}\frac{e^{(a-b)x}-1}{(a-b)x}=

לבסוף, לפני שנשתמש בגבול הידוע, נוודא שהאיבר של x שאנחנו קיבלנו:

(a-b)x

באמת שואף ל-0 כנדרש. ואכן, מתקיים:

\lim _ {x \rightarrow 0 }(a-b)x= 0

לכן, אפשר להשתמש בגבול הידוע ומקבלים:

=(a-b)\lim _ { x \rightarrow 0}\frac{e^{(a-b)x}-1}{(a-b)x}=

=(a-b)\cdot 1=

=a-b

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה