fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פולינומים בחזקת מנה של פונקציות עם שורש בשאיפה לאינסוף – תרגיל 5996

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{1+x}{2+x})}^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{1+x}{2+x})}^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}}=1

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x =\infty

ונקבל:

{(\frac{1+\infty}{2+\infty})}^{\frac{1-\sqrt{\infty}}{1-\infty}}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאינסוף חלקֵי שואף לאינסוף” בבסיס ובחזקה. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

נסדר את הפונקציה בתרגיל שלנו כדי להשתמש בגבול אוילר (השני):

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{1+x}{2+x})}^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{1}{-(2+x)})}^{\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}}=

קיבלנו בבסיס ביטוי מהסוג:

1+\frac{1}{-(2+x)}

ומתקיים:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1}{-(2+x) }= 0

כנדרש.

נוסיף לחזקה את האיבר ההופכי לאיבר שבבסיס ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{1}{-(2+x)})}^{-(2-x)\cdot\frac{1}{-(2-x)}\cdot\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}}=

הערה: כאשר מוסיפים איבר בכפל, צריך לכפול גם באיבר ההופכי שלו, כדי שהביטוי המקורי לא ישתנה.

כעת, לפי גבול אוילר, נקבל:

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{1}{-(2+x)})}^{-(2-x)}=e

נשאר לנו לחשב את הגבול על הביטוי שנשאר בחזקה:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1}{-(2+x)}\cdot\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}=

נשתמש בשיטת הכפל בצמוד ונכפול את המונה ואת המכנה של השבר השני בצמוד של המונה:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1}{-(2+x)}\cdot\frac{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}{(1-x)(1+\sqrt{x})}=

מנוסחאות כפל מקוצר, נקבל במונה:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1}{-(2+x)}\cdot\frac{1-x}{(1-x)(1+\sqrt{x})}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1}{-(2+x)}\cdot\frac{1}{1+\sqrt{x}}=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{1}{-(2+\infty)}\cdot\frac{1}{1+\sqrt{\infty}}=

=0\cdot 0=

=0

לכן, סה”כ מקבלים:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{1}{-(2+x)})}^{-(2-x)\cdot\frac{1}{-(2-x)}\cdot\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}}=

=e^0=1

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה