תרגיל
חשבו את הגבול:
\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{2}{x})}^x
תשובה סופית
פתרון מפורט
דבר ראשון, נציב בפונקציה:
x =\infty
ונקבל:
{(1+\frac{2}{\infty})}^{\infty}
קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאחד בחזקת אינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה.
\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{2}{x})}^x=
נרצה להשתמש בגבול אוילר (השני). בבסיס יש לנו ביטוי מהסוג:
1+\frac{2}{x}
ומתקיים:
\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{2}{x}= 0
כנדרש.
נסדר את החזקה, כדי לקבל את האיבר ההופכי לאיבר שבבסיס ונקבל:
=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{2}{x})}^{x\cdot\frac{1}{2}\cdot 2}=
הערה: כאשר מוסיפים איבר בכפל, צריך לכפול גם באיבר ההופכי שלו, כדי שהביטוי המקורי לא ישתנה.
כעת, לפי גבול אוילר, מתקיים:
\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{2}{x})}^{\frac{x}{2}}=e
לכן, סה”כ מקבלים:
=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{2}{x})}^{\frac{x}{2}\cdot 2}=e^2
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
