fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פולינומים בחזקת פולינום בשאיפה לאינסוף – תרגיל 6020

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{2x+3}{2x+1})}^{x+1}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{2x+3}{2x+1})}^{x+1}=e

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x =\infty

ונקבל:

{(\frac{2\infty+3}{2\infty+1})}^{\infty+1}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאינסוף חלקֵי שואף לאינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

נסדר את הפונקציה בתרגיל שלנו כדי להשתמש בגבול אוילר (השני):

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{2x+3}{2x+1})}^{x+1}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{2x+1+2}{2x+1})}^{x+1}

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{2}{2x+1})}^{x+1}=

קיבלנו בבסיס ביטוי מהסוג:

1+\frac{2}{2x+1}

ומתקיים:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{2}{2x+1}= 0

כנדרש.

נוסיף לחזקה את האיבר ההופכי לאיבר שבבסיס ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{2}{2x+1})}^{\frac{2x+1}{2}\cdot\frac{2}{2x+1}\cdot(x+1)}=

הערה: כאשר מוסיפים איבר בכפל, צריך לכפול גם באיבר ההופכי שלו, כדי שהביטוי המקורי לא ישתנה.

כעת, לפי גבול אוילר, מתקיים:

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{2}{2x+1})}^{\frac{2x+1}{2}}=e

נשאר לנו לחשב את הגבול על הביטוי שנשאר בחזקה:

\lim _ { x \rightarrow \infty}\frac{2}{2x+1}\cdot(x+1)=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{2x+2}{2x+1}=

קיבלנו מנה של פולינומים בשאיפה לאינסוף. במצב כזה, נחלק את המונה ואת המכנה בחזקה הגבוהה ביותר, ללא המקדם. נקבל:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\frac{2x+2}{x}}{\frac{2x+1}{x}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{2+\frac{2}{x}}{2+\frac{1}{x}}=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{2+\frac{2}{\infty}}{2+\frac{1}{\infty}}=

=\frac{2+0}{2+0}=

=\frac{2}{2}=

=1

לכן, סה”כ מקבלים:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{2}{2x+1})}^{\frac{2x+1}{2}\cdot\frac{2}{2x+1}\cdot(x+1)}=

=e^1=e

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה