תרגיל
חשבו את הגבול:
\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{2^{x+1}+3^{x+1}}{2^x+3^x}
תשובה סופית
פתרון מפורט
דבר ראשון, נציב בפונקציה:
x =\infty
ונקבל:
\frac{2^{\infty+1}+3^{\infty+1}}{2^\infty+3^\infty}
קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאינסוף חלקֵי שואף לאינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה.
יש לנו מנה של פונקציות מעריכיות בשאיפה לאינסוף. במצב כזה, נחלק את המונה ואת המכנה באיבר ששואף הכי מהר לאינסוף, ללא המקדם. נקבל:
\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{2^{x+1}+3^{x+1}}{2^x+3^x}=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{2\cdot 2^x+3\cdot 3^x}{2^x+3^x}=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\frac{2\cdot 2^x+3\cdot 3^x}{3^x}}{\frac{2^x+3^x}{3^x}}=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{2\frac{2^x}{3^x}+3}{\frac{2^x}{3^x}+1}=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{2{(\frac{2}{3})}^x+3}{{(\frac{2}{3})}^x+1}=
מכיוון שהבסיס קטן מ-1, מתקיים:
=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{2}{3})}^x=0
לכן, נציב אינסוף ונקבל:
=\frac{2{(\frac{2}{3})}^\infty+3}{{(\frac{2}{3})}^\infty+1}=
=\frac{2\cdot 0+3}{0+1}=
=\frac{3}{1}=
=3
הערה: מספר סופי חלקֵי מספר השואף לאינסוף מוגדר ושווה לאפס. לרשימה המלאה, לחצו כאן.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
