fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות שיעזרו לך להצליח!

הרשמו לצפייה בדפי תרגילים פתורים

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פונקציות מעריכיות בשאיפה לאינסוף – תרגיל 6033

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}

תשובה סופית

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=1

פתרון מפורט

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x =\infty

ונקבל:

\frac{e^\infty-e^{-\infty}}{e^\infty+e^{-\infty}}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאינסוף חלקֵי שואף לאינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

יש לנו מנה של פונקציות מעריכיות בשאיפה לאינסוף. במצב כזה, נחלק את המונה ואת המכנה באיבר ששואף הכי מהר לאינסוף, ללא המקדם. בתרגיל שלנו, זה האיבר:

e^x

נחלק ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\frac{e^x-e^{-x}}{e^x}}{\frac{e^x+e^{-x}}{e^x}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1-\frac{1}{e^{2x}}}{1+\frac{1}{e^{2x}}}=

מכיוון שהבסיס גדול מ-1, מתקיים:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} e^x=\infty

לרשימה המלאה, לחצו כאן.

לכן, נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{1-\frac{1}{e^{2\cdot\infty}}}{1+\frac{1}{e^{2\cdot\infty}}}=

=\frac{1-\frac{1}{\infty}}{1+\frac{1}{\infty}}=

=\frac{1-0}{1+0}=

=1

הערה: מספר סופי חלקֵי מספר השואף לאינסוף מוגדר ושווה לאפס. לרשימה המלאה, לחצו כאן.

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה גישה לכל הפתרונות באתר?