fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – מכפלה של פולינום והפרש פונקציות עם ln – תרגיל 6045

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow \infty} x(e^{\frac{1}{x}}-1)

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow \infty} x(e^{\frac{1}{x}}-1)=1

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = \infty

ונקבל:

\infty(e^{\frac{1}{\infty}}-1)

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאינסוף כפול שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

\lim _ { x \rightarrow \infty} x(e^{\frac{1}{x}}-1)=

נסדר את הגבול, כדי להשתמש בגבול הידוע:

\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac{e^{x} - 1}{x} = 1

ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{x}}=

נגדיר משתנה חדש:

t=\frac{1}{x}

מכיוון ש-x שואף לאינסוף, מקבלים שהמשתנה t שואף ל-0 כנדרש. נציב את המשתנה החדש t ונקבל:

=\lim _ { t \rightarrow 0} \frac{e^t-1}{t}=1

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה