fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – מכפלה של פולינום והפרש פונקציות עם ln – תרגיל 6042

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow \infty} x(\ln (x+1)-\ln x)

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow \infty} x(\ln (x+1)-\ln x)=1

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = \infty

ונקבל:

\infty\cdot(\ln (\infty+1)-\ln \infty)

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס פחות שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

\lim _ { x \rightarrow \infty} x(\ln (x+1)-\ln x)=

נשתמש בחוקי לוגריתמים ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} x\cdot\ln\frac{x+1}{x}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \ln{(\frac{x+1}{x})}^x=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \ln {(1+\frac{1}{x})}^x=

נכניס את הגבול פנימה:

=\ln \lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{1}{x})}^x=

הערה: מותר לנו לעשות זאת, כי ln היא פונקציה רציפה.

קיבלנו את גבול אוילר. לכן, נקבל:

=\ln e=

=1

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה