fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – פונקציה בחזקת פונקציה בשאיפה לאינסוף – תרגיל 6000

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1-\frac{1}{x})}^x

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1-\frac{1}{x})}^x=e^{-1}

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x =\infty

ונקבל:

{(1-\frac{1}{\infty})}^{\infty}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאחד בחזקת אינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

נסדר את הפונקציה בתרגיל שלנו כדי להשתמש בגבול אוילר (השני):

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1-\frac{1}{x})}^x=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{1}{-x})}^x=

קיבלנו בבסיס ביטוי מהסוג:

1+\frac{1}{-x}

ומתקיים:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1}{-x}= 0

כנדרש.

נוסיף לחזקה מינוס, כדי לקבל את האיבר ההופכי לאיבר שבבסיס ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{1}{-x})}^{(-x)\cdot (-1)}=

הערה: כאשר מוסיפים איבר בכפל, צריך לכפול גם באיבר ההופכי שלו, כדי שהביטוי המקורי לא ישתנה.

כעת, לפי גבול אוילר, מתקיים:

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{1}{-x})}^{-x}=e

לכן, סה”כ מקבלים:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{1}{-x})}^{(-x)\cdot (-1)}=e^{-1}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה