fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?

חישוב גבול של פונקציה – דוגמה שבה כלל לופיטל אינו עוזר – תרגיל 6169

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=1

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = \infty

ונקבל:

\frac{\infty}{\sqrt{\infty^2+1}}=\frac{\infty}{\infty}

קיבלנו את המצב “אינסוף חלקֵי אינסוף”. זה מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. במקרה אי-ודאות מסוג זה בדרך כלל נפעיל את כלל לופיטל. ננסה אפוא גם בתרגיל זה. נפעיל את כלל לופיטל ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1}{\frac{2 x}{2 \sqrt{x^2 + 1}}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}

נציב שוב:

=\frac{\sqrt{{\infty}^2 + 1}}{\infty}=\frac{\infty}{\infty}

נשארנו באותו מצב 🙁 כלל לופיטל לא עוזר לנו כאן.

נחזור לתרגיל המקורי ונחלק מונה ומכנה בגורם המוביל (=החזקה הגבוהה ביותר של x), כלומר נחלק מונה ומכנה ב-x (בחזקת 1). נכון שמופיע גם x בריבוע, אבל הוא נמצא בתוך שורש, ולכן החזקה שלו תרד ל-1.

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}}=

x שואף לאינסוף, ולכן הוא חיובי. מכאן, מתקיים:

x=\sqrt{x^2}

נציב זאת בגבול ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2}}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=

נציב שוב אינסוף, והפעם נקבל:

=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{{\infty}^2}}}=

=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{{\infty}}}}=

=\frac{1}{\sqrt{1+0}}=

= \frac{1}{1}=

=1

הערה: מספר סופי חלקֵי אינסוף מוגדר ושווה לאפס. לרשימה המלאה לחצו כאן.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?