תרגיל
חשבו את הגבול:
\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}
תשובה סופית
פתרון מפורט
דבר ראשון, נציב בפונקציה:
x = \infty
ונקבל:
\frac{\sqrt{\infty}}{\sqrt{\infty+\sqrt{\infty+\sqrt{\infty}}}}
קיבלנו את המצב “אינסוף חלקֵי אינסוף”. זה מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה.
\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{x}{x(1+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x})}}=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{x}{x(1+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{x^2}})}}=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{x}{x(1+\sqrt{\frac{x+\sqrt{x}}{x^2}})}}=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{x}{x(1+\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}})}}=
נצמצם מונה ומכנה ב-x ונקבל:
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}}}=
נציב שוב אינסוף, והפעם נקבל:
=\sqrt{\frac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{\infty}+\frac{1}{\infty^{\frac{3}{2}}}}}}=
=\sqrt{\frac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{\infty}+\frac{1}{\infty}}}}=
=\sqrt{\frac{1}{1+\sqrt{0+0}}}=
=\sqrt{\frac{1}{1+0}}=
=\sqrt{1}=
=1
הערה: אינסוף בחזקת מספר חיובי שווה לאינסוף. כמו כן, מספר סופי חלקֵי אינסוף מוגדר ושווה לאפס. לרשימה המלאה לחצו כאן.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
