fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה- מנה של פונקציות עם שורשים – תרגיל 6183

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=1

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = \infty

ונקבל:

\frac{\sqrt{\infty}}{\sqrt{\infty+\sqrt{\infty+\sqrt{\infty}}}}

קיבלנו את המצב “אינסוף חלקֵי אינסוף”. זה מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה.

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{x}{x(1+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x})}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{x}{x(1+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{x^2}})}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{x}{x(1+\sqrt{\frac{x+\sqrt{x}}{x^2}})}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{x}{x(1+\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}})}}=

נצמצם מונה ומכנה ב-x ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}}}=

נציב שוב אינסוף, והפעם נקבל:

=\sqrt{\frac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{\infty}+\frac{1}{\infty^{\frac{3}{2}}}}}}=

=\sqrt{\frac{1}{1+\sqrt{\frac{1}{\infty}+\frac{1}{\infty}}}}=

=\sqrt{\frac{1}{1+\sqrt{0+0}}}=

=\sqrt{\frac{1}{1+0}}=

=\sqrt{1}=

=1

הערה: אינסוף בחזקת מספר חיובי שווה לאינסוף. כמו כן, מספר סופי חלקֵי אינסוף מוגדר ושווה לאפס. לרשימה המלאה לחצו כאן.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה