fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה- גבול חד-צדדי של מכפלת פונקציות עם ln – תרגיל 6290

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 1^-}(\ln x)(\ln(1-x))

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 1^-}(\ln x)(\ln(1-x))=0

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 1^-

כשאנו שואפים ל-1 משמאל, אנו קרובים ל-1, אבל קטנים ממנו (למשל 0.999999), לכן נקבל בהצבה:

(\ln 1^-)(\ln(1-1^-))=0\cdot (-\infty)

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס כפול שואף למינוס אינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

הערה: האפס בביטוי אינו מוחלט, אלא שואף לאפס. לכן, הביטוי אינו שווה לאפס.

נסדר את הפונקציה, כדי שנוכל להשתמש בכלל לופיטל:

\lim _ { x \rightarrow 1^-}(\ln x)(\ln(1-x))=

=\lim _ { x \rightarrow 1^-}\frac{\ln(1-x)}{\frac{1}{\ln x}}=

עכשיו, הצבה נותנת “שואף לאינסוף חלקֵי שואף לאינסוף”, ואפשר להשתמש בכלל לופיטל – נגזור מונה ומכנה בנפרד ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 1^-}\frac{\frac{-1}{1-x}}{-\frac{1}{\ln^2 x}\cdot \frac{1}{x}}=

נסדר:

=\lim _ { x \rightarrow 1^-}\frac{x\ln^2 x}{1-x}=

נציב שוב ונקבל:

=\frac{1^-\ln^2 1^-}{1-1^-}=

\frac{0}{0}

ההצבה נותנת הפעם “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”, לכן נשתמש בכלל לופיטל שוב – נגזור מונה ומכנה בנפרד ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 1^-}\frac{x\ln^2 x}{1-x}=

=\lim _ { x \rightarrow 1^-}\frac{\ln^2 x+x\cdot 2\ln x\cdot\frac{1}{x}}{-1}=

נסדר:

=\lim _ { x \rightarrow 1^-}\frac{\ln^2 x+ 2\ln x}{-1}=

נציב שוב ונקבל:

=\frac{\ln^2 1^-+ 2\ln 1^-}{-1}=

=\frac{0+0}{-1}=

=0

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה