fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה- גבול חד-צדדי של מכפלה של פולינום ופונקציית ln – תרגיל 6292

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 0^+}x^n\ln x

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 0^+}x^n\ln x=0

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 0^+

כשאנו שואפים ל-0 מימין, אנו קרובים ל-0, אבל גדולים ממנו (למשל, 0.00001), לכן נקבל בהצבה:

{(0^+)}^n\ln (0^+)

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס כפול שואף למינוס אינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

הערה: האפס בביטוי אינו מוחלט, אלא שואף לאפס. לכן, הביטוי אינו שווה לאפס.

נסדר את הפונקציה, כדי שנוכל להשתמש בכלל לופיטל:

\lim _ { x \rightarrow 0^+}x^n\ln x=

=\lim _ { x \rightarrow 0^+}\frac{\ln x}{x^{-n}}

עכשיו, הצבה נותנת “שואף לאינסוף חלקֵי שואף לאינסוף”, ואפשר להשתמש בכלל לופיטל – נגזור מונה ומכנה בנפרד ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{-nx^{-n-1}}=

נסדר:

=\lim _ { x \rightarrow 0^+}\frac{1}{\frac{-n}{x^n}}=

נציב שוב ונקבל:

=\frac{1}{\frac{-n}{{(0^+)}^n}}=

=\frac{1}{\frac{-n}{0^+}}=

=\frac{1}{-\infty}=

=0

הערה: האפס במכנה אינו אפס מוחלט, אלא מספר השואף לאפס. מספר סופי חלקֵי מספר השואף לאפס מוגדר ושווה לאינסוף. הסימן שלו נקבע לפי כללי הכפל והחילוק הרגילים. לרשימה המלאה לחצו כאן.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה