fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה- פונקציה בחזקת פונקציה – תרגיל 6297

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 1} x^{\frac{1}{1-x}}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 1} x^{\frac{1}{1-x}}=e^{-1}

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 1

ונקבל:

x^{\frac{1}{1-1}}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאחד בחזקת שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

\lim _ { x \rightarrow 1} x^{\frac{1}{1-x}}=

נשתמש בחוקי לוגריתמים, כדי לצאת מהמצב של “פונקציה בחזקת פונקציה” ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 1} e^{\ln x^{\frac{1}{1-x}}}=

=\lim _ { x \rightarrow 1} e^{\frac{1}{1-x}\cdot \ln x}=

נסדר:

=\lim _ { x \rightarrow 1} e^{\frac{\ln x}{1-x}}=

נכניס את הגבול פנימה:

=e^{\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{\ln x}{1-x}}=

הערה: אפשר לעשות זאת, כי פונקציה מעריכית היא פונקציה רציפה.

נציב שוב ונקבל:

=e^{ \frac{\ln 1}{1-1}}=

=e^{ \frac{0}{0}}=

קיבלנו בחזקה “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

נשתמש בכלל לופיטל – נגזור מונה ומכנה בנפרד ונקבל:

=e^{\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{\frac{1}{x}}{-1}}=

נסדר:

=e^{\lim _ { x \rightarrow 1} -\frac{1}{x}}=

נציב שוב ונקבל:

=e^{ -\frac{1}{1}}=

=e^{-1}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה