fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה- פונקציה פחות פונקציה – תרגיל 6301

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 1} (\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x})

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 1} (\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x})=\frac{1}{2}

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 1

ונקבל:

(\frac{1}{1-1}-\frac{1}{\ln 1})=

=(\frac{1}{0}-\frac{1}{0})=

=(\infty-\infty)

הערה: האפס במכנה אינו אפס מוחלט, אלא מספר השואף לאפס.

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאינסוף פחות שואף לאינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

\lim _ { x \rightarrow 1} (\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x})=

נעשה מכנה משותף, כדי להשתמש בכלל לופיטל:

=\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{x\ln x-(x-1)}{(x-1)\ln x}=

=\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{x\ln x-x+1}{x\ln x-\ln x}=

נציב שוב ונקבל:

= \frac{1\cdot\ln 1-1+1}{1\cdot \ln 1-\ln 1}=

= \frac{0}{0}

קיבלנו “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

נשתמש בכלל לופיטל – נגזור מונה ומכנה בנפרד ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{\ln x+1-1}{\ln x+1-\frac{1}{x}}=

נסדר:

=\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{\ln x}{\ln x+1-\frac{1}{x}}=

נציב שוב ונקבל:

=\frac{\ln 1}{\ln 1+1-\frac{1}{1}}=

=\frac{0}{0}=

קיבלנו שוב “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”, לכן נשתמש שוב בכלל לופיטל – נגזור מונה ומכנה בנפרד ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=

נסדר:

=\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{x}{x+1}=

נציב שוב ונקבל:

=\frac{1}{1+1}=

=\frac{1}{2}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה