fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה- מנה של פונקציות מעריכיות ופולינום – תרגיל 6303

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{(e^x-1)(e^{2x}-1)}{x^2}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{(e^x-1)(e^{2x}-1)}{x^2}=2

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 0

ונקבל:

\frac{(e^0-1)(e^{2\cdot 0}-1)}{0^2}=\frac{0}{0}

הערה: האפס במכנה אינו אפס מוחלט, אלא מספר השואף לאפס.

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{(e^x-1)(e^{2x}-1)}{x^2}=

נפתח סוגריים, כדי שיהיה קל להשתמש בכלל לופיטל:

=\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{e^{3x}-e^x-e^{2x}+1}{x^2}=

נשתמש בכלל לופיטל – נגזור מונה ומכנה בנפרד ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{3e^{3x}-e^x-2e^{2x}}{2x}=

נציב שוב ונקבל:

= \frac{3e^{3\cdot 0}-e^0-2e^{2\cdot 0}}{2\cdot 0}=

= \frac{0}{0}

קיבלנו שוב “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. לכן נשתמש שוב בכלל לופיטל – שוב נגזור מונה ומכנה בנפרד ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{9e^{3x}-e^x-4e^{2x}}{2}=

נציב שוב ונקבל:

=\frac{9e^{3\cdot 0}-e^0-4e^{2\cdot 0}}{2}=

=\frac{9-1-4}{2}=

=\frac{4}{2}=

=2

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה